Problem Matematika Mingguan: Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2003 (2)

Email This BlogThis! Share to Twitter Share to Facebook

Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2003 (2)

Posted by yusufsila | Thursday 30 October 2014 at 18:57

Labels : OSN

Soal 9

Buktikan bahwa (n – 1) n (n³ + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua bilangan asli n.

Solusi

Untuk membuktikan bahwa (n – 1)n(n³ + 1) habis dibagi 6, maka harus dibuktikan bahwa bentuk tersebut habis dibagi 2 dan 3

a. Membuktikan habis dibagi 2

Ada dua kasus, yaitu n ganjil dan n genap

Ø Untuk n genap, misalkan n = 2k

(n – 1)n(n³ + 1) = (2k – 1)(2k)((2k)³ + 1)

= (2k – 1)(2k)(8k³ + 1)

Karena 2k habis dibagi 2, maka bentuk tersebut habis dibagi 2

Ø Untuk n ganjil, misalkan n = 2k – 1

(n – 1)n(n³ + 1) = (2k – 1 + 1)(2k – 1)((2k – 1)³ + 1)

= (2k)(2k – 1)((2k – 1)³ + 1)

Karena 2k habis dibagi 2, maka bentuk tersebut habis dibagi 2

Sehingga (n – 1)n(n³ + 1) habis dibagi 2

b. Membuktikan habis dibagi 3

Ada tiga kasus, yaitu n habis dibagi 3, bersisa 1 dan bersisa 2

Ø Untuk n habis dibagi 3, misalkan n = 3k

(n – 1)n(n³ + 1) = (3k – 1)(3k)((3k)³ + 1)dan

= (3k – 1)(3k)(27k³ + 1)

Karena 3k habis dibagi 3, maka bentuk tersebut habis dibagi 3

Ø Untuk n bersisa 1 jika dibagi 3, misalkan n = 3k + 1

(n – 1)n(n³ + 1) = (3k – 1 + 1)(3k + 1)((3k + 1)³ + 1)

= (3k)(3k + 1)((3k + 1)³ + 1)

Karena 3k habis dibagi 3, maka bentuk tersebut habis dibagi 3

Ø Untuk n bersisa 2 jika dibagi 3, misalkan n = 3k + 2

(n – 1)n(n³ + 1) = (3k + 2 + 1)(3k + 2)((3k + 2)³ + 1)

= (3k + 3)(3k + 2)((3k + 2)³ + 1)

Karena (3k + 3) habis dibagi 3, maka bentuk tersebut habis dibagi 3

Sehingga (n – 1)n(n³ + 1) habis dibagi 3

Karena (n – 1)n(n³ + 1) habis dibagi 2 dan 3, maka (n – 1)n(n³ + 1) habis dibagi 6

Edit the Menu Here

Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2003 (2)

0 comments:

Post a Comment

Lihat juga soal-soal lainnya .....

Entri Populer

Total Pageviews

Followers

Blog Archive

Labels

Edit the Menu Here

Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2003 (2)

0 comments:

Post a Comment

Lihat juga soal-soal lainnya .....

Entri Populer

Total Pageviews

Followers

Blog Archive

Labels

Subscribe To