Problem Matematika Mingguan: Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2003 (2)

Email This BlogThis! Share to X Share to Facebook

Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2003 (2)

Posted by yusufsila | Thursday, 30 October 2014 at 18:57

Labels : OSN

Soal 9

Buktikan bahwa (n – 1) n (n³ + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua bilangan asli n.

Solusi

Untuk membuktikan bahwa (n – 1)n(n³ + 1) habis dibagi 6, maka harus dibuktikan bahwa bentuk tersebut habis dibagi 2 dan 3

a. Membuktikan habis dibagi 2

Ada dua kasus, yaitu n ganjil dan n genap

Ø Untuk n genap, misalkan n = 2k

(n – 1)n(n³ + 1) = (2k – 1)(2k)((2k)³ + 1)

= (2k – 1)(2k)(8k³ + 1)

Karena 2k habis dibagi 2, maka bentuk tersebut habis dibagi 2

Ø Untuk n ganjil, misalkan n = 2k – 1

(n – 1)n(n³ + 1) = (2k – 1 + 1)(2k – 1)((2k – 1)³ + 1)

= (2k)(2k – 1)((2k – 1)³ + 1)

Karena 2k habis dibagi 2, maka bentuk tersebut habis dibagi 2

Sehingga (n – 1)n(n³ + 1) habis dibagi 2

b. Membuktikan habis dibagi 3

Ada tiga kasus, yaitu n habis dibagi 3, bersisa 1 dan bersisa 2

Ø Untuk n habis dibagi 3, misalkan n = 3k

(n – 1)n(n³ + 1) = (3k – 1)(3k)((3k)³ + 1)dan

= (3k – 1)(3k)(27k³ + 1)

Karena 3k habis dibagi 3, maka bentuk tersebut habis dibagi 3

Ø Untuk n bersisa 1 jika dibagi 3, misalkan n = 3k + 1

(n – 1)n(n³ + 1) = (3k – 1 + 1)(3k + 1)((3k + 1)³ + 1)

= (3k)(3k + 1)((3k + 1)³ + 1)

Karena 3k habis dibagi 3, maka bentuk tersebut habis dibagi 3

Ø Untuk n bersisa 2 jika dibagi 3, misalkan n = 3k + 2

(n – 1)n(n³ + 1) = (3k + 2 + 1)(3k + 2)((3k + 2)³ + 1)

= (3k + 3)(3k + 2)((3k + 2)³ + 1)

Karena (3k + 3) habis dibagi 3, maka bentuk tersebut habis dibagi 3

Sehingga (n – 1)n(n³ + 1) habis dibagi 3

Karena (n – 1)n(n³ + 1) habis dibagi 2 dan 3, maka (n – 1)n(n³ + 1) habis dibagi 6

Edit the Menu Here

Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2003 (2)

0 comments:

Post a Comment

Lihat juga soal-soal lainnya .....

Entri Populer

Total Pageviews

Followers

Blog Archive

Labels

Edit the Menu Here

Pembahasan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional Tahun 2003 (2)

0 comments:

Post a Comment

Lihat juga soal-soal lainnya .....

Entri Populer

Total Pageviews

Followers

Blog Archive

Labels

Subscribe To