Pembahasan Soal OSN Matematika Tingkat Nasional Tahun 2012
Posted by
yusufsila
| Tuesday, 4 November 2014 at 02:48
0
comments
Labels :
Kombinatorika,
OSN
SOAL
3
Pada suatu keranjang buah terdapat 20 apel, 18
jeruk, 16 mangga, 10 nanas, dan 6 pepaya. Jika seseorang ingin mengambil 10
buah dari keranjang tersebut, ada berapa banyak komposisi buah terambil yang
mungkin ?
SOLUSI
Misalkan, x1 = apel, x2 =
jeruk, x3 = mangga, x4 = nanas dan x5 =
pepaya.
Selanjutnya banyaknya komposisi buah yang terambil
equivalen dengan banyaknya penyelesaian (x1, x2, x3,
x4, x5) dari persamaan
x1 + x2 + x3 + x4
+ x5 = 10
dengan 0 ≤ xi ≤ 10.
Padahal kita tahu banyaknya penyelesaian dari x1
+ x2 + x3 + x4 + x5 = 10 adalah 10C14 = 1001. Akan tetapi karena x5 ≤ 6 maka nilai 1001 harus
dikurangi dengan banyaknya penyelesaian jika x5 = 7, 8, 9, 10.
Selanjutnya kita hitung banyak kemungkinan tersebut :
i.
Jika x5 = 7 maka diperoleh x1
+ x2 + x3 + x4 = 3. Oleh karena itu banyaknya
penyelesaian ada 3C6 = 20.
ii.
Jika x5 = 8 maka diperoleh x1
+ x2 + x3 + x4 = 2. Oleh karena itu banyaknya
penyelesaian ada 2C5 = 10.
iii.
Jika x5 = 9 maka diperoleh x1
+ x2 + x3 + x4 = 1. Oleh karena itu banyaknya
penyelesaian ada 1C4
= 4.
iv. Jika
x5 = 10 maka diperoleh x1 + x2 + x3
+ x4 = 0. Oleh karena itu banyaknya penyelesaian ada 1.
Oleh karena itu
banyaknya komposisi buah terambil yang mungkin adalah 1001 − (20 + 10 + 4 + 1) = 966.
Subscribe to:
Post Comments (Atom)